Fourierov rozbor signálu.
| 1. Rozklad bílého světla na duhu - barevné spektrum | |
| Barevnou duhu jistě znáte. Vzniká tím, že se bílé světlo láme na kapkách vody za deště. Kapka vody | |
| má větší index lomu, než vzduch a tento index lomu je různý pro různé vlnové délky (barvy) světla. | |
 |
|
| Pro každou barvu světla je index lomu na kapce vody jiný. Proto se různé barvy lámou pod jiným úhlem | |
| a proto máme vizuální vjem různých barev, ve které se bílé světlo rozložilo. | |
| Duha má celkem 7 různých barev od červené (nejvyšší vlnová délka, nejnižší kmitočet) až po fialovou | |
| (nejkratší vlnová délka, nejvyšší kmitočet). Těchto 7 barev duhy vidíme. Další složky světla mimo uvedený | |
| barevný rozsah již očima nejsou viditelné. | |
 |
|
| Máme tedy dvojici bílé světlo - barevná duha. Můžeme tedy říci, že barevná duha vzniká rozkladem | |
| bílého světla např. na kapce deště. | |
| Každá barva světla má svou typickou vlnovou délku, danou známým vztahem: | |
 |
|
| kde symbol f znamená kmitočet a koeficient 300 udává přibližnou rychlost světla ve vakuu 3.108 ms-1. | |
| Tak vlastně pomalu přecházíme k tomu, že máme na jedné straně bílé světlo, na straně druhé jednotlivé | |
| barevné složky, rozlišené kmitočtem. Říkáme, že duha tvoří barevné spektrum bílého difúzního světla. | |
| Pod pojmem spektrum tedy budeme chápat složky bílého světla, rozlišené svým kmitočtem (barvou) | |
| Rozklad bílého světla na barevné spektrum mohou vytvořit zmíněné kapky deště, ale také např. skleněný | |
| hranol. Zde se opět využívá rozdílného lomu každé barevné složky (kmitočtu) světla. | |
| Hovoříme o rozkladu, nebo spektrální analýze bílého světla (určení jeho dílčích barevných složek) | |
 http://cs.wikipedia.org/wiki/Duha |
|
| Dokonce platí i opačný postup, tedy že součtem dílčích 7 barev duhy lze vytvořit původní bílé světlo. | |
| V takovém případě hovoříme o syntéze bílého světla na základě jeho spektra. | |
| Nyní si položme otázku. Jak je možné, že když pozorujeme svět za bílého světla přes zelenou láhev, | |
| vidíme všechno zeleně? | |
| Odpověď je jednoduchá. Zelené sklo propustí k našim očím pouze jednu - zelenu složku barevného | |
| spektra světla. Láhev tak působí jako optický filtr - vybere jen jednu barvu, tedy jeden kmitočet. | |
| Tím, že známe barevné spektrum světla umíme uvedený jev snadno vysvětlit. Bez toho by to šlo jen velmi | |
| těžce, či vůbec ne. Tohoto efektu se hojně využívá např. ve fotografické technice: | |
 |
|
| Shrnuto, spektrem budeme rozumět rozklad světla do spektrálních složek, které se liší svým kmitočtem. | |
| 2. Rozklad periodického signálu na spektrum - Fourierova řada | |
| 2.1. Pojem spektrum | |
| Na základě analogie s rozkladem bílého světla vzniká myšlenka pokusit se rozložit v principu | |
| jakýkoliv periodický signál na spektrum - tedy složky rozlišené podle kmitočtu. | |
| Autorem podobných úvah byl zřejmě jako první francouzský lékař a matematik | |
| Josepf Fourier (1768-1830). Zabýval se, mimo jiné, vedením tepla a řešením parciálních diferenciálních | |
| rovnic. Stál před problémem, jak pracovat s periodickými funkcemi. Jeho snahou bylo zjednodušit | |
| jejich zápis tak, aby se rovnice s nimi staly snáze řešitelnými. | |
| Výsledkem Fourierových snah byla úvaha zapsat periodickou funkci (signál) jako součet nekonečného | |
| počtu goniometrických funkcí sinus a kosinus. | |
| Tato úvaha se ukázala oprávněnou a vedla k tzv. harmonické Fourierově analýze a k pojmu | |
| Fourierova řada. | |
| My si zde zavedeme Fourierovu řadu nejprve spíše intuitivně. | |
| Na obrázku níže vidíte součet dvou harmonických signálů. Prvním je stejnosměrná složka (konstanta) | |
| o velikosti U0=0,4V. Druhým je kosinový průběh s amplutdou U1=0,605V, počáteční fází j1=0rad a | |
| kmitočtem f1=1kHz. Stejnosměrná složba je brána jako zvláštní případ harmonického signálu | |
| s nulovým kmitočtem. Oba tyto signály jsou kresleny černě. | |
| Červený průběh je součet obou dílčích. | |
| Celý obrázek je 3D, kde druhou osou nezávisle proměnnou je kmitočet obou dílčích složek. | |
| Všimněte si těchto zajímavostí: | |
|
● kmitočet červeného časového průběhu (součet dílčích složek) je totožný s kmitočtem harmonického signálu s pořadovým indexem 1, ● podíváte-li se na 3D obrázek zprava, tedy do roviny t=0 [s], uvidíte jen dvě čáry, ● tyto čáry zakrelseny do zvláštního obrázku tvoří tzv. amplitudové spektrum červeného průběhu, neboť tyto čáry jsou vlastně amplitudy obou složek; nezávisle proměnnou je zde kmitočet, ● fázové spektrum pak doplňuje počáteční fáze obou dílčích harmonických signálů (složek), ● je-li stejnosměrná složka kladná, má počáteční fázi 0 [rad], je-li záporná pak π [rad], ● oba 2D grafy tvoří úplné spektrum červeného časového průběhu, ● jednotlivé čáry nazýváme spektrálními čarami nebo spektrálními složkami signálu. |
|
| Spektrum periodického signálu je tedy čarové (diskrétní). Spektrální čáry jsou rozlišeny podle kmitočtu. | |
| Protože amplituda harmonického signálu souvisí s jeho energií, představuje amplitudové spektrum | |
| kmitočtové rozložení energie signálu. | |
| První spektrální čára pro f0=0 [Hz] představuje střední hodnotu červeného průběhu U0=0,4V. | |
| V pořadí druhá spektrální čára má ve spektru stejný kmitočet, jako červený časový průběh. Bývá často | |
| zkráceně nazývána "první harmonickou". | |
 |
|
| Jistě si umíte představit, jaké změny červeného časového průběhu budou vyvolány při změnách | |
| velikosti (amplitudy) a počáteční fáze spektrálních čar: | |
| Zopakujme nyní výše uvedené obrázky, avšak zvýšíme počet spektrálních čar na N=3. | |
| Půjde tedy o stejnosměrnou složku (střední hodnotu) a dva harmonické signály. | |
| Je zajímavé, že kmitočet toho nově přidaného s pořadovým indexem 3 je dvojnásobný, než u indexu 2. | |
 |
|
| Výsledný součet tří složek je již signálem neharmonických (není tvaru sinus nebo kosinus). | |
| Rovnici se součtem můžeme formálně přepsat s využitím sumy, kde jsou jistě jasné významy symbolů. | |
| Právě žlutě podbarvená rovnice vyjadřuje, že periodický neharmonický signál může být rozložen | |
| do signálů harmonických, jejichž kmitočet je vždy k-násobný. | |
| Výše uvedený obrázek nyní doplníme o úplné spektrum: | |
 |
|
| Do tabulky jsme přehledně zapsali kmitočet složek, jejich amplitudu a počáteční fázi. | |
| Pak je kreslení spektra již snadnou záležitostí. | |
| Na dalším obrázku vidíte opět výsledný červený časový průběh, jež vznikl součtem již 10 dílčích | |
| složek (střední hodnota + 9 harmonických signálů) spolu s úplným spektrem. | |
 |
|
| Je zřejmé, že výsledný časový průběh je již silně neharmonický. | |
| Protože vznik součtem dílčích spektrálních čar, lze tento součet opět zapsat symbolicky takto: | |
 |
|
| Pokud bychom pokračovali dále ve zvyšování počtu dílčích složek (čar), blížil by se výsledný časový | |
| průběh více ideálnímu periodickému obdélníkovému průběhu. V ideálním případě by počet spektrálních | |
| čar však musel být nekonečný (teoretický předpoklad). | |
| Uvedený princip rozkladu periodického signálu na harmonické složky má v teorii i praxi velké dopady. | |
| Představte si, že obdélníkový signál s kmitočtem f1=1kHz projde koaxiálním kabelem (či jiným přenosovým | |
| kanálem), jehož maximální šířka pásma je 5kHz. To znamená, že všechny složky spektra nad tímto | |
| kmitočtem kabel nepřenese (resp. hodně potlačí). To ale znamená, že průchodem kabelem dojde | |
| k potlačení vyšších harmonických složek (od 6. výše). To způsobí, že na výstupu bude časový průběh | |
| složen jen z 5 spektrálních složek, namísto původního velkého počtu, viz. obrázek níže. | |
 |
|
| Omezením spektra dojde ke zkreslení tvaru časového průběhu a naopak. | |
| Chceme-li zabránit zkreslení, je třeba vybrat přenosový kanál (trasu) s vhodnými kmitočtovými | |
| vlastnostmi. Zde je vidět souvislost mezi tvarem kmitočtové charakteristiky obvodu a spektry signálů. | |
| Uvedený jev nemusí však být vždy jevem nechtěným. V praxi se používají tzv. kmitočtové filtry, | |
| u nichž je právě schopnost potlačovat definované pásmo kmitočtů jevem žádaným | |
| (např. odstranění rušení). | |
| Kdy se znalost spektra hodí? | |
|
● když potřebujeme vysvětlit, proč periodický signál s kmitočtem 10kHz ruší na kmitočtu 100kHz (ruší jedna z vyšších harmonických složek spektra-spektrální čára), ● když potřebujeme odstranit rušení, šum apod., ● při konstrukci kmitočtových filtrů (lineární obvody) a tvarovačů signálů (nelineární obvody), ● při měření nebo výpočtu tzv. harmonického zkreslení obvodů (obohacení spektra nelineárními obvody), ● při práci s modulovanými signály a přenosem dat obecně, ● při ladění a používání přijímačů elektromagnetických vln (rozhlas, TV, GSM aj.); vlastně laděním přijímače vybíráme ve spektru všech stanic tu námi zvolenou (vhodným laděným kmitočtovým filtrem), ● atd., atd. |
|
| Při práci s elektrickými obvody a signály je často vhodné mít k dispozici jak časové průběhy signálů, | |
| tak jejich spektra. | |
| Pro určení spektra signálu se vyrábějí buďto speciální spektrální analyzátory anebo je tato možnost | |
| implementována jako doplněk osciloskopů a obvodových analyzátorů. | |
| V případě digitálního zpracování signálů (DSP) je k dispozici výpočet spektra ve formě algoritmu DFT | |
| (Discrete Fourier Transform), resp. jeho rychlé varianty FFT (Fast Fourier Transform). Na základě | |
| znalosti hodnot vzorků signálu (čísel) lze spektrum snadno vypočítat a zobrazit. | |
| Dílčí shrnutí: | |
|
● budeme si zvykat na to, že ke každému periodickému signálu je velmi často vhodné mít k dispozici jeho spektrum (amplitudové a fázové), ● spektrum je tvořeno řadou harmonických signálů, které se ve spektru znázorňují jako spektrální čáry, které jsou od sebe vzdáleny o kmitočet časového průběhu, ● spektrální čáry s pořadovým číslem 1 (na nulovém kmitočtu) má význam střední hodnoty časového průběhu, ● spektrální čáry s pořadovým číslem 2 má kmitočet shodný s kmitočtem časového průběhu a je nazývána "první harmonickou", ● součtem všech spektrálních čar, tedy všech harmonických signálů, obdržíme časový průběh, ● u neharmonických periodických signálů hraje roli počet spektrálních čar s ohledem na tvar časového průběhu ● změna ve spektru se projeví ve změně tvaru časového průběhu a naopak, ● je důležité naučit se rozumět souvislostem mezi časovým průběhem a jeho spektrem, ● znalost spektra je důležitá v mnoha oborech, zejména v telekomunikační technice. |
|
| 2.2. Fourierova řada a její tvary | |
| Zopakujme si analytický zápis součtu harmonických signálů, uvedený výše. | |
 |
|
 |
|
| V obou případech vyjadřuje žlutě podbarvená rovnice se sumou fakt, že časový průběh byl získán | |
| sečtením všech harmonických signálů včetně stejnosměrné složky (střední hodnoty). | |
| Jak by to dopadlo, kdybychom sečetli nekonečné množství spektrálních čar? | |
| S jistým zjednodušením podle obrázku níže. | |
 |
|
| Pro dokonalý (ideální) tvar obdélníkových pulzů by bylo třeba sečíst nekonečné množství spektrálních | |
| čar. V technické praxi však tyto dokonalé tvary jsou sice chtěné, ale ne vždy. Pak je konečný počet | |
| čar stejně tak v pořádku. Navíc, vždy jsme omezeni konečným, byť někdy poměrně vysokým počtem | |
| spektrálních složek. | |
| Nás však nyní zajímá onen posledně uvedený žlutě podbarvený vztah. | |
| Ten nám říká něco o náhradě (aproximaci) periodického signálu v principu libovolného tvaru | |
| harmonickými signály kosinus. | |
| Tyto harmonické funkce budeme nazývat základními (bázovými) funkcemi. | |
| Uvedený vztah je tedy aproximací - náhradou. | |
| Je samozřejmě nutné znát konkrétní hodnoty amplitud a počátečních fází spektrálních čar pro každý | |
| tvar periodického signálu (obdélník, trojúhelník, pila, lichoběžník apod.). | |
| Přepišme formálně ještě jednou poslední vztah: | |
 |
|
| Uvedený vztah nazýváme Fourierovou řadou (varianta s kosinovými členy). Symboly C0 a Ck jsou | |
| tzv. Fourierovy koeficienty. Jejich souvislost s hodnotami střední hodnoty a amplitud jsou uvedeny. | |
| Vy už jistě budete tomuto vztahu rozumět na základě výše probrané látky. | |
| Fourierova řada nám ukazuje, že periodický signál sp(t) lze přibližně nahradit součtem střední hodnoty | |
| a řady harmonických signálů s vhodnou amplitudou a počáteční fází. | |
| Uvedený tvar Fourierovy řady není jediný. A to proto, že existuje trojí základní způsob matematického | |
| modelování harmonického signálu, viz. zde. | |
| Platí-li tedy: | |
 |
|
| pak výše uvedená Fourierova řada lze přepsat do jiného, tzv. trigonometrického tvaru. | |
 |
|
| koeficienty lze mezi sebou přepočítat: | |
 |
|
| Třetím tvarem Fourierovy řady je řada v tzv. komplexním nebo exponenciálním tvaru. | |
| Tento tvar je dán modelem harmonického signálu: | |
 |
|
| Fourierovu řadu pak můžeme zapsat takto: | |
 |
|
| Existují tedy celkem tři tvary jedné jediné Fourierovy řady. Praktický je ten první (s kosinovými členy), | |
| další dva jsou teoretické, avšak rovněž důležité. Za zmínku stojí dolní meze použitých sum. | |
| Zatímco první dva tvary mají tyto meze od 1, poslední od -∞. To znamená, že bude ukazovat spektrum | |
| i pro záporné kmitočty (teorie). Velikosti spektrálních čar modulu vyjdou poloviční (zachování energie). | |
| Zopakujme si souhrnně všechny tři tvary Fourierovy řady včetně vztahů pro koeficienty: | |
 |
|
 |
|
| T1 a ω1 ukazují na periodu, resp. kruhový kmitočet časového průběhu periodického signálu. | |
| Budete-li měřit spektrum periodického signálu pomocí spektrálního analyzátoru, obdržíte zpravidla | |
| spektrální čáry, odpovídající Fourierově řadě s kosinovými členy. Mají totiž přímý fyzikální smysl | |
| amplitud, resp. počátečních fází harmonických složek spektra. | |
| Další dva tvary Fourierovy řady mají spíše teoretický význam. | |
| Všimněte si levého sloupce druhé tabulky výše. Jsou zde popsány vztahy pro určení (výpočet) | |
| koeficientů Fourierovy řady. K tomu je třeba znát analyticky daný periodický signál (funkci). | |
| 2.2.1 Dirichletovy podmínky | |
| Aby mohla být periodická funkce (signál) vyjádřena Fourierovou řadou, tedy součtem nekonečného | |
| počtu harmonických funkcí, musí tato řada konvergovat. | |
| Konvergence, tedy konečně velký součet všech členů, bude zajištěna tehdy, bude-li periodický | |
| časový průběh (funkce) jistým způsobem omezen, tedy bude-li splňovat jisté podmínky, | |
| tzv. Dirichletovy podmínky. Jde o tato omezení: | |
|
● v rámci své periody, tedy v časovém intervalu <0,T1>, je funkcí ohraničenou, ● v tomtéž intervalu má funkce konečný počet bodů nespojitosti prvního druhu ( zjednodušeně skoky), ● opět v rámci své periody má funkce (signál) konečný počet lokálních extrémů, je po částech monotónní a po částech hladká. |
|
| Je třeba poznamenat, že všechny běžně používané technické signály (modely) Dirichletovy podmínky | |
| splňují. | |
| 2.2.2 Některé vlastnosti Fourierovy řady | |
| Tyto vlastnosti jsou užitečné pro práci se spektry periodických signálů. Šetří výrazně čas a energii. | |
 |
|
| 2.2.3 Parsevalův teorém pro periodické signály | |
| Parsevalův teorém dává do souvislostí časový průběh periodického signálu a jeho spektrum pro možnost | |
| výpočtu tzv. normovaného středního výkonu viz. zde. | |
 |
|
|
Střední výkon lze tedy určit jak z časového průběhu (kvadrát efektivní hodnoty), tak s využitím koeficientů |
|
|
Fourierovy řady. Pak je třeba sečíst teoreticky nekonečný počet koeficientů příslušně umocněných. |
|
|
Známe-li spektrum signálu, může být výpočet na jeho základě někdy mnohem jednodušší. |
|
|
Bude-li koeficientů konečný počet, obdržíme výpočtem více či méně přesný odhad skutečného výkonu. |
|
| Příklad: | |
| Vypočtěte efektivní hodnotu a normovaný střední výkon periodického signálu, vzniklého jednocestným | |
| usměrněním harmonického signálu podle obrázku. | |
| Nejprve se půjde o výpočet s využitím Parsevalova teorému, k čemuž potřebujeme spektrální čáry. | |
 |
|
| Nyní totéž, ale klasicky na základě znalosti funkce časového průběhu. | |
 |
|
| Výpočet, založený na analytické funkci časového průběhu je výpočtem přesným, pokud je však možné | |
| daný vztah pro efektivní hodnotu vůbec vypočítat (pro složité časové průběhy problém). | |
| Výpočet s využitím Parsevalova teorému je odhadem daných veličin. Přesnost se zvyšuje s rostoucím | |
| počtem spektrálních čar, které máme k dispozici. | |
| 2.3. Použití Fourierovy řady | |
| Na obrázku níže je názorně ukázán postup určení časového průběhu ze známého úplného spektra | |
| (zelený směr) a naopak určení koeficientů Fourierovy řady (FŘ) ze známého časového průběhu. | |
| My se v této kapitole zaměříme na žlutý, doposud nediskutovaný směr. | |
 |
|
| Nyní nás tedy bude zajímat, jak pro známý periodický signál (funkci) určit koeficienty Fourierovy řady. | |
| K tomu vedou tyto kroky, resp. podmínky: | |
|
● je třeba znát periodický signál jako analyticky zadanou funkci (vzorec pro periodický časový průběh), ● aplikovat některý ze vztahů pro výpočet koeficientů Fourierovy řady (tabulka druhá, levý sloupec výše). |
|
| Vše si ukážeme na příkladě výpočtu a zakreslení spektra periodického sledu obdélníkových pulzů, | |
| neboť tento tvar signálu a jeho modifikace jsou v praxi poměrně časté (např. logická 1 a logická 0). | |
| Příklad: | |
| Vypočtěte prvních 12 složek úplného spektra periodického obdélníkového signálu podle obrázku. | |
 |
|
| Řešení sse estává z několika logických kroků: | |
| 1. výběr vztahu pro výpočet koeficientů Fourierovy řady (FŘ), | |
| 2. analytické řešení tohoto vztahu - obdržení koeficientů FŘ, | |
| 3. analytický výpočet amplitud a počátečních fází harmonických složek spektra z vypočtených koeficientů, | |
| 4. dosazení číselných hodnot ze zadání - obdržení velikostí spektrálních čas obou částí spektra, | |
| 5. zakreslení spektra. | |
| Ad 1. | |
| Vyjdeme ze vztahu pro výpočet komplexních koeficientů z tabulky výše: | |
 |
|
 |
|
| V průběhu periody je naší funkcí konstanta Im. Časový průběh proudu je nenulový pouze po dobu | |
| trvání pulzu ts. Dosazením obdržíme: | |
| Ad 2. | |
 |
|
| Zde by odvození vztahu pro komplexní koeficient Fourierovy řady mohlo skončit. My jej ale ještě upravíme | |
| tak, aby byl výsledek snáze interpretovatelný. | |
| Platí tzv. Eulerova substituce: | |
 |
|
| Upravíme vztah pro koeficient tak, abychom mohli Eulerovu substituci použít. | |
 |
|
| Výraz jsme rozšířili zlomkem 2/2, abychom ve jmenovateli obdrželi 2. | |
| Pro snazší interpretaci se pokusíme získat ve výsledku výraz sinα/α. | |
 |
|
| Použili jsme rozšíření zlomkem ts/ts a substituci sincα=sinα/α. | |
| Obdrželi jsme vztah pro komplexní koeficienty Fourierovy řady. Budeme-li nyní do vztahu dosazovat | |
| za index k postupně čísla 1,2,3, ... budeme dostávat komplexní čísla, z nichž lze již obdržet amplitudy | |
| a počáteční fáze harmonických složek spektra. Bohužel, vztah nelze využít pro index k=0 k získání | |
| střední hodnoty I0, neboť po dosazení k=0 získáme neurčitý výraz 0/0. | |
| Proto pro určení střední hodnoty využijeme dříve zde uvedený vztah: | |
 |
|
| Vztah pro střední hodnotu již máme. Nyní je třeba určit vztahy pro výpočet spektrálních čar | |
| z odvozeného koeficientu: | |
| Ad 3. | |
 |
|
| Ad 4. | |
| Nyní dosadíme číselné hodnoty ze zadání do vztahu pro komplexní koeficienty a shrneme si vztahy | |
| pro spektrální čáry. | |
 |
|
| Posledně zmíněné vztahy pro amplitudy a počáteční fáze použijeme pro numerické vyčíslení ve formě | |
| tabulky. Do vztahu pro komplexní koeficienty budeme dosazovat pořadový index k=1,2,3, .... | |
| a ze získaných obecně komplexních čísel budeme počítat amplitudy Ik a počáteční fáze. | |
 |
|
| U počátečních fází je třeba zvážit, že koeficienty ck nám vyšly jako reálná čísla. Z toho ovšem plyne, že | |
| jejich imaginární část je rovna 0. Proto fázový posuv vychází nejednoznačný, neboť platí: | |
 |
|
| Tato nejednoznačnost počátečních fází plyne z toho, že náš zadaný obdélník pokládáme za ideální. | |
| Ad 5. | |
| Barevně vyznačené sloupce v tabulce nyní vyneseme do grafů a získáme tím úplné kmitočtové | |
| spektrum zadaného periodického signálu. | |
 |
|
| Obálka amplitudového spektra (čárkovaně) je grafem funkce sinα/α, kde α=kω1ts/2. | |
| Všimněte si, že v amplitudovém spektru vždy určitá čára nabývá hodnoty 0. Kmitočet těchto nulových | |
| čar je svázán se šířkou pulzu a platí pro něj vztah: fz=k/ts, kde k=1,2,3, ... . | |
| Vyčíslíte-li podíl T1/ts, obdržíte v našem případě číslo 5. To nám říká, kolikátá v pořadí bude spektrální | |
| čára s nulovou velikostí (nepočítá se střední hodnota). | |
| Vzdálenost spektrálních čar je rovna kmitočtu časového průběhu F1=1/T1. | |
| Pro získání dokonalého tvaru je třeba nekonečného počtu spektrálních čar, jak uvedeno výše. | |
| Na obrázku níže vidíte část obrazovky spektrálního analyzátoru jako ilustraci k reálným měřením. | |
|
|
|
| Návod na rychlé zakreslení spektra periodických obdélníků bez větších výpočtů: | |
|
● předkreslíte si osy grafů obou částí spektra (amplitudové a fázové), ● vypočtete vzdálenost spektrálních čar, která je rovna kmitočtu časového průběh F1 a na vodorovných osách obou grafů si uděláte značky kmitočtů od 0, F1, 2F1, 3F1 .... ● vypočtete velikost střední hodnoty podle vzorce I0=Im.ts/T1 a zakreslíte ji, ● dále od ruky načrtnete graf funkce sinα/α, na nulovém kmitočtu je obálka dvojnásobná, než střední hodnota, ● nyní určíte, kolikátá spektrální složka amplitudového spektra bude nulová podle výrazu T1/ts, ● kreslení spektra fázového je snadné. |
|
| Upozorněme, že hodnota dílčích vrcholů funkce sinα/α poměrně rychle klesá. | |
| Vyzkoušejte si práci se spektry např. na webech (stojí to za to): | |
| Na obrázcích níže jsou ukázány některé souvislosti tvaru časového průběhu a spektra. | |
| Je třeba vždy vycházet z výše odvozených vztahů. Zejména je vhodné vzít v úvahu velikost střední | |
| hodnoty, polohu nulových spektrálních čar amplitudového spektra a vzdálenost čar. | |
 |
|
 |
|
 |
|
 |
|
| Z uvedených souvislostí plynou některé zajímavé a důležité závěry, mající všeobecnou platnost: | |
|
● změna posunutí signálu na svislé ose časového průběhu (nahoru, dolů) se projeví pouze ve změně střední hodnoty, tedy čáry na nulovém kmitočtu (první v pořadí); je-li střední hodnota kladná, má vždy nulovou počáteční fázi; je-li záporná, je počáteční fáze π nebo -π ; z toho plyne závěr, že změna znaménka se projeví jen a pouze ve fázovém spektru, spektrum amplitud nemůže být záporné, ● změna kmitočtu časového průběhu se projeví ve změně vzdálenosti čar, ale také ve velikosti čar amplitud, ● změna šířky pulzu obdélníku se projeví ve změně polohy nulových čar amplitudového spektra a také ve změně velikosti amplitudového spektra, ● úzké pulzy s malou střídou vedou na sice nevelké co do amplitud, ale zato velmi široké spektrum; to je nevýhodné, neboť je třeba přenosového kanálu s velkou šířkou propustného pásma, ● jakákoli změna velikosti spektrálních čar se projeví ve zkreslení časového průběhu a naopak. |
|
| 2.4. Příklady jednodušších periodických signálů a jejich spekter | |
| V těchto několika obrázcích vám předkládáme příklady k procvičení si vztahu časový průběh - spektrum. | |
| Nejjednodušší je začít na signálech na bázi harmonických průběhů. Všímejte si zejména velikostí | |
| spektrálních čar amplitudového i fázového spektra a poloh těchto čar na kmitočtové ose. | |
| Tak si lze postupně vytvořit cit pro spektrální analýzu, založenou na Fourierově harmonické analýze. | |
 |
|
 |
|
 |
|
 |
|
| 2.5. Další příklady periodických časových průběhů a jejich spekter | |
| Níže uvádíme přehled některých periodických signálů, jejich Fourierův rozvoj a náčrt amplitudového | |
| spektra. Omluvte, prosím, nižší čitelnost, danou již předlohou (průhledná fólie). | |
 |
|
| 3. Doporučená literatura | |
| Biolek, D. a kol. Úvod do elektrotechniky. Skriptum S-13. Vojenská akademie v Brně, 1997. | |
| Biolek, D. a kol. Elektronické obvody I. Učebnice. Univerzita obrany, Brno 2006. ISBN 80-7231-169-7. | |
| Zaplatílek, K. a Doňar, B. MATLAB - začínáme se signály. BEN-technická literatura, Praha 2006. | |
| ISBN 80-7300-200-0. | |
