Choď na obsah Choď na menu
 

Fourierov rozbor signálu.

Harmonická Fourierova analýza signálů - spektra periodických signálů

 
Obsah: Rozklad bílého světla na duhu - barevné spektrum
  Rozklad periodického signálu na spektrum - Fourierova řada
    pojem spektrum
    Fourierova řada a její tvary
      Dirichletovy podmínky
      některé vlastnosti Fourierovy řady
      Parsevalův teorém pro periodické signály
    použití Fourierovy řady
    příklady jednodušších periodických signálů a jejich spekter
    další příklady periodických časových průběhů a jejich spekter
  Doporučená literatura
       

 

1. Rozklad bílého světla na duhu - barevné spektrum
   
  Barevnou duhu jistě znáte. Vzniká tím, že se bílé světlo láme na kapkách vody za deště. Kapka vody
  má větší index lomu, než vzduch a tento index lomu je různý pro různé vlnové délky (barvy) světla.
   
 
   
  Pro každou barvu světla je index lomu na kapce vody jiný. Proto se různé barvy lámou pod jiným úhlem
  a proto máme vizuální vjem různých barev, ve které se bílé světlo rozložilo.
   
  Duha má celkem 7 různých barev od červené (nejvyšší vlnová délka, nejnižší kmitočet) až po fialovou
  (nejkratší vlnová délka, nejvyšší kmitočet). Těchto 7 barev duhy vidíme. Další složky světla mimo uvedený
  barevný rozsah již očima nejsou viditelné.
   
 
   
  Máme tedy dvojici bílé světlo - barevná duha. Můžeme tedy říci, že barevná duha vzniká rozkladem
  bílého světla např. na kapce deště.
   
  Každá barva světla má svou typickou vlnovou délku, danou známým vztahem:
   
 
   
  kde symbol f znamená kmitočet a koeficient 300 udává přibližnou rychlost světla ve vakuu 3.108 ms-1.
   
  Tak vlastně pomalu přecházíme k tomu, že máme na jedné straně bílé světlo, na straně druhé jednotlivé
  barevné složky, rozlišené kmitočtem. Říkáme, že duha tvoří barevné spektrum bílého difúzního světla.
   
  Pod pojmem spektrum tedy budeme chápat složky bílého světla, rozlišené svým kmitočtem (barvou)
  Rozklad bílého světla na barevné spektrum mohou vytvořit zmíněné kapky deště, ale také např. skleněný
  hranol. Zde se opět využívá rozdílného lomu každé barevné složky (kmitočtu) světla.
  Hovoříme o rozkladu, nebo spektrální analýze bílého světla (určení jeho dílčích barevných složek)
   
     http://cs.wikipedia.org/wiki/Duha
   
  Dokonce platí i opačný postup, tedy že součtem dílčích 7 barev duhy lze vytvořit původní bílé světlo.
  V takovém případě hovoříme o syntéze bílého světla na základě jeho spektra.
   
  Nyní si položme otázku. Jak je možné, že když pozorujeme svět za bílého světla přes zelenou láhev,
  vidíme všechno zeleně?
  Odpověď je jednoduchá. Zelené sklo propustí k našim očím pouze jednu - zelenu složku barevného
  spektra světla. Láhev tak působí jako optický filtr - vybere jen jednu barvu, tedy jeden kmitočet.
   
  Tím, že známe barevné spektrum světla umíme uvedený jev snadno vysvětlit. Bez toho by to šlo jen velmi
  těžce, či vůbec ne. Tohoto efektu se hojně využívá např. ve fotografické technice:
   
 
 

http://cs.wikipedia.org/wiki/Fotografický_filtr

   
  Shrnuto, spektrem budeme rozumět rozklad světla do spektrálních složek, které se liší svým kmitočtem.
   

 

2. Rozklad periodického signálu na spektrum - Fourierova řada
   
2.1. Pojem spektrum
   
  Na základě analogie s rozkladem bílého světla vzniká myšlenka pokusit se rozložit v principu
  jakýkoliv periodický signál na spektrum - tedy složky rozlišené podle kmitočtu.
   
  Autorem podobných úvah byl zřejmě jako první francouzský lékař a matematik
  Josepf Fourier (1768-1830). Zabýval se, mimo jiné, vedením tepla a řešením parciálních diferenciálních
  rovnic. Stál před problémem, jak pracovat s periodickými funkcemi. Jeho snahou bylo zjednodušit
  jejich zápis tak, aby se rovnice s nimi staly snáze řešitelnými.
   
 

http://cs.wikipedia.org/wiki/Fourier

   
  Výsledkem Fourierových snah byla úvaha zapsat periodickou funkci (signál) jako součet nekonečného
  počtu goniometrických funkcí sinus a kosinus.
   
  Tato úvaha se ukázala oprávněnou a vedla k tzv. harmonické Fourierově analýze a k pojmu
  Fourierova řada.
   
  My si zde zavedeme Fourierovu řadu nejprve spíše intuitivně.
   
  Na obrázku níže vidíte součet dvou harmonických signálů. Prvním je stejnosměrná složka (konstanta)
  o velikosti U0=0,4V. Druhým je kosinový průběh s amplutdou U1=0,605V, počáteční fází j1=0rad a
  kmitočtem f1=1kHz. Stejnosměrná složba je brána jako zvláštní případ harmonického signálu
  s nulovým kmitočtem. Oba tyto signály jsou kresleny černě.
  Červený průběh je součet obou dílčích.
   
  Celý obrázek je 3D, kde druhou osou nezávisle proměnnou je kmitočet obou dílčích složek.
  Všimněte si těchto zajímavostí:
   
 

● kmitočet červeného časového průběhu (součet dílčích složek) je totožný s kmitočtem harmonického

   signálu s pořadovým indexem 1,

● podíváte-li se na 3D obrázek zprava, tedy do roviny t=0 [s], uvidíte jen dvě čáry,

● tyto čáry zakrelseny do zvláštního obrázku tvoří tzv. amplitudové spektrum červeného průběhu,

   neboť tyto čáry jsou vlastně amplitudy obou složek; nezávisle proměnnou je zde kmitočet,

● fázové spektrum pak doplňuje počáteční fáze obou dílčích harmonických signálů (složek),

● je-li stejnosměrná složka kladná, má počáteční fázi 0 [rad], je-li záporná pak π [rad],

● oba 2D grafy tvoří úplné spektrum červeného časového průběhu,

● jednotlivé čáry nazýváme spektrálními čarami nebo spektrálními složkami signálu.

   
  Spektrum periodického signálu je tedy čarové (diskrétní). Spektrální čáry jsou rozlišeny podle kmitočtu.
  Protože amplituda harmonického signálu souvisí s jeho energií, představuje amplitudové spektrum
  kmitočtové rozložení energie signálu.
   
  První spektrální čára pro f0=0 [Hz] představuje střední hodnotu červeného průběhu U0=0,4V.
  V pořadí druhá spektrální čára má ve spektru stejný kmitočet, jako červený časový průběh. Bývá často
  zkráceně nazývána "první harmonickou".
   
 
   
  Jistě si umíte představit, jaké změny červeného časového průběhu budou vyvolány při změnách
  velikosti (amplitudy) a počáteční fáze spektrálních čar:
   
  Zopakujme nyní výše uvedené obrázky, avšak zvýšíme počet spektrálních čar na N=3.
  Půjde tedy o stejnosměrnou složku (střední hodnotu) a dva harmonické signály.
  Je zajímavé, že kmitočet toho nově přidaného s pořadovým indexem 3 je dvojnásobný, než u indexu 2.
   
 
   
  Výsledný součet tří složek je již signálem neharmonických (není tvaru sinus nebo kosinus).
  Rovnici se součtem můžeme formálně přepsat s využitím sumy, kde jsou jistě jasné významy symbolů.
   
  Právě žlutě podbarvená rovnice vyjadřuje, že periodický neharmonický signál může být rozložen
  do signálů harmonických, jejichž kmitočet je vždy k-násobný.
   
  Výše uvedený obrázek nyní doplníme o úplné spektrum:
   
 
   
  Do tabulky jsme přehledně zapsali kmitočet složek, jejich amplitudu a počáteční fázi.
  Pak je kreslení spektra již snadnou záležitostí.
   
  Na dalším obrázku vidíte opět výsledný červený časový průběh, jež vznikl součtem již 10 dílčích
  složek (střední hodnota + 9 harmonických signálů) spolu s úplným spektrem.
   
 
   
  Je zřejmé, že výsledný časový průběh je již silně neharmonický.
  Protože vznik součtem dílčích spektrálních čar, lze tento součet opět zapsat symbolicky takto:
   
 
   
  Pokud bychom pokračovali dále ve zvyšování počtu dílčích složek (čar), blížil by se výsledný časový
  průběh více ideálnímu periodickému obdélníkovému průběhu. V ideálním případě by počet spektrálních
  čar však musel být nekonečný (teoretický předpoklad).
   
  Uvedený princip rozkladu periodického signálu na harmonické složky má v teorii i praxi velké dopady.
  Představte si, že obdélníkový signál s kmitočtem f1=1kHz projde koaxiálním kabelem (či jiným přenosovým
  kanálem), jehož maximální šířka pásma je 5kHz. To znamená, že všechny složky spektra nad tímto
  kmitočtem kabel nepřenese (resp. hodně potlačí). To ale znamená, že průchodem kabelem dojde
  k potlačení vyšších harmonických složek (od 6. výše). To způsobí, že na výstupu bude časový průběh
  složen jen z 5 spektrálních složek, namísto původního velkého počtu, viz. obrázek níže.
   
 
   
  Omezením spektra dojde ke zkreslení tvaru časového průběhu a naopak.
  Chceme-li zabránit zkreslení, je třeba vybrat přenosový kanál (trasu) s vhodnými kmitočtovými
  vlastnostmi. Zde je vidět souvislost mezi tvarem kmitočtové charakteristiky obvodu a spektry signálů.
   
  Uvedený jev nemusí však být vždy jevem nechtěným. V praxi se používají tzv. kmitočtové filtry,
  u nichž je právě schopnost potlačovat definované pásmo kmitočtů jevem žádaným
  (např. odstranění rušení).
 

http://cs.wikipedia.org/wiki/Filtr_(zpracování_signálu)

   
  Kdy se znalost spektra hodí?
   
 

● když potřebujeme vysvětlit, proč periodický signál s kmitočtem 10kHz ruší na kmitočtu 100kHz

   (ruší jedna z vyšších harmonických složek spektra-spektrální čára),

● když potřebujeme odstranit rušení, šum apod.,

● při konstrukci kmitočtových filtrů (lineární obvody) a tvarovačů signálů (nelineární obvody),

● při měření nebo výpočtu tzv. harmonického zkreslení obvodů (obohacení spektra nelineárními obvody),

● při práci s modulovanými signály a přenosem dat obecně,

● při ladění a používání přijímačů elektromagnetických vln (rozhlas, TV, GSM aj.); vlastně laděním

   přijímače vybíráme ve spektru všech stanic tu námi zvolenou (vhodným laděným kmitočtovým filtrem),

● atd., atd.

   
  Při práci s elektrickými obvody a signály je často vhodné mít k dispozici jak časové průběhy signálů,
  tak jejich spektra.
   
  Pro určení spektra signálu se vyrábějí buďto speciální spektrální analyzátory anebo je tato možnost
  implementována jako doplněk osciloskopů a obvodových analyzátorů.
 

http://cs.wikipedia.org/wiki/Osciloskop

   
  V případě digitálního zpracování signálů (DSP) je k dispozici výpočet spektra ve formě algoritmu DFT
  (Discrete Fourier Transform), resp. jeho rychlé varianty FFT (Fast Fourier Transform). Na základě
  znalosti hodnot vzorků signálu (čísel) lze spektrum snadno vypočítat a zobrazit.
   
   
  Dílčí shrnutí:
   
 

● budeme si zvykat na to, že ke každému periodickému signálu je velmi často vhodné mít k dispozici

   jeho spektrum (amplitudové a fázové),

● spektrum je tvořeno řadou harmonických signálů, které se ve spektru znázorňují jako spektrální

   čáry, které jsou od sebe vzdáleny o kmitočet časového průběhu,

● spektrální čáry s pořadovým číslem 1 (na nulovém kmitočtu) má význam střední hodnoty časového

   průběhu,

● spektrální čáry s pořadovým číslem 2 má kmitočet shodný s kmitočtem časového průběhu a je nazývána

   "první harmonickou",

● součtem všech spektrálních čar, tedy všech harmonických signálů, obdržíme časový průběh,

● u neharmonických periodických signálů hraje roli počet spektrálních čar s ohledem na tvar časového

   průběhu

● změna ve spektru se projeví ve změně tvaru časového průběhu a naopak,

● je důležité naučit se rozumět souvislostem mezi časovým průběhem a jeho spektrem,

● znalost spektra je důležitá v mnoha oborech, zejména v telekomunikační technice.

   
2.2. Fourierova řada a její tvary
   
  Zopakujme si analytický zápis součtu harmonických signálů, uvedený výše.
   
 
   
 
   
  V obou případech vyjadřuje žlutě podbarvená rovnice se sumou fakt, že časový průběh byl získán
  sečtením všech harmonických signálů včetně stejnosměrné složky (střední hodnoty).
   
  Jak by to dopadlo, kdybychom sečetli nekonečné množství spektrálních čar?
  S jistým zjednodušením podle obrázku níže.
   
 
   
  Pro dokonalý (ideální) tvar obdélníkových pulzů by bylo třeba sečíst nekonečné množství spektrálních
  čar. V technické praxi však tyto dokonalé tvary jsou sice chtěné, ale ne vždy. Pak je konečný počet
  čar stejně tak v pořádku. Navíc, vždy jsme omezeni konečným, byť někdy poměrně vysokým počtem
  spektrálních složek.
   
  Nás však nyní zajímá onen posledně uvedený žlutě podbarvený vztah.
  Ten nám říká něco o náhradě (aproximaci) periodického signálu v principu libovolného tvaru
  harmonickými signály kosinus.
   
  Tyto harmonické funkce budeme nazývat základními (bázovými) funkcemi.
   
  Uvedený vztah je tedy aproximací - náhradou.
   
  Je samozřejmě nutné znát konkrétní hodnoty amplitud a počátečních fází spektrálních čar pro každý
  tvar periodického signálu (obdélník, trojúhelník, pila, lichoběžník apod.).
   
  Přepišme formálně ještě jednou poslední vztah:
   
 
   
  Uvedený vztah nazýváme Fourierovou řadou (varianta s kosinovými členy). Symboly C0 a Ck jsou
  tzv. Fourierovy koeficienty. Jejich souvislost s hodnotami střední hodnoty a amplitud jsou uvedeny.
   
  Vy už jistě budete tomuto vztahu rozumět na základě výše probrané látky.
   
  Fourierova řada nám ukazuje, že periodický signál sp(t) lze přibližně nahradit součtem střední hodnoty
  a řady harmonických signálů s vhodnou amplitudou a počáteční fází.
   
  Uvedený tvar Fourierovy řady není jediný. A to proto, že existuje trojí základní způsob matematického
  modelování harmonického signálu, viz. zde.
   
  Platí-li tedy:
   
 
   
  pak výše uvedená Fourierova řada lze přepsat do jiného, tzv. trigonometrického tvaru.
   
 
   
  koeficienty lze mezi sebou přepočítat:
   
 
   
  Třetím tvarem Fourierovy řady je řada v tzv. komplexním nebo exponenciálním tvaru.
  Tento tvar je dán modelem harmonického signálu:
   
 
   
  Fourierovu řadu pak můžeme zapsat takto:
   
 
   
   
  Existují tedy celkem tři tvary jedné jediné Fourierovy řady. Praktický je ten první (s kosinovými členy),
  další dva jsou teoretické, avšak rovněž důležité. Za zmínku stojí dolní meze použitých sum.
  Zatímco první dva tvary mají tyto meze od 1, poslední od -∞. To znamená, že bude ukazovat spektrum
  i pro záporné kmitočty (teorie). Velikosti spektrálních čar modulu vyjdou poloviční (zachování energie).
   
  Zopakujme si souhrnně všechny tři tvary Fourierovy řady včetně vztahů pro koeficienty:
   
 
   
 
   
  T1 a ω1 ukazují na periodu, resp. kruhový kmitočet časového průběhu periodického signálu.
  Budete-li měřit spektrum periodického signálu pomocí spektrálního analyzátoru, obdržíte zpravidla
  spektrální čáry, odpovídající Fourierově řadě s kosinovými členy. Mají totiž přímý fyzikální smysl
  amplitud, resp. počátečních fází harmonických složek spektra.
   
  Další dva tvary Fourierovy řady mají spíše teoretický význam.
   
  Všimněte si levého sloupce druhé tabulky výše. Jsou zde popsány vztahy pro určení (výpočet)
  koeficientů Fourierovy řady. K tomu je třeba znát analyticky daný periodický signál (funkci).
   
2.2.1 Dirichletovy podmínky
   
  Aby mohla být periodická funkce (signál) vyjádřena Fourierovou řadou, tedy součtem nekonečného
  počtu harmonických funkcí, musí tato řada konvergovat.
   
  Konvergence, tedy konečně velký součet všech členů, bude zajištěna tehdy, bude-li periodický
  časový průběh (funkce) jistým způsobem omezen, tedy bude-li splňovat jisté podmínky,
  tzv. Dirichletovy podmínky. Jde o tato omezení:
   
 

● v rámci své periody, tedy v časovém intervalu <0,T1>, je funkcí ohraničenou,

● v tomtéž intervalu má funkce konečný počet bodů nespojitosti prvního druhu ( zjednodušeně skoky),

● opět v rámci své periody má funkce (signál) konečný počet lokálních extrémů, je po částech

   monotónní a po částech hladká.

   
  Je třeba poznamenat, že všechny běžně používané technické signály (modely) Dirichletovy podmínky
  splňují.
 

http://cs.wikipedia.org/wiki/Dirichletovy_podmínky

   
2.2.2 Některé vlastnosti Fourierovy řady
   
  Tyto vlastnosti jsou užitečné pro práci se spektry periodických signálů. Šetří výrazně čas a energii.
   
 
   
2.2.3 Parsevalův teorém pro periodické signály
   
  Parsevalův teorém dává do souvislostí časový průběh periodického signálu a jeho spektrum pro možnost
  výpočtu tzv. normovaného středního výkonu viz. zde.
   
 
   
 

Střední výkon lze tedy určit jak z časového průběhu (kvadrát efektivní hodnoty), tak s využitím koeficientů

 

Fourierovy řady. Pak je třeba sečíst teoreticky nekonečný počet koeficientů příslušně umocněných.

 

Známe-li spektrum signálu, může být výpočet na jeho základě někdy mnohem jednodušší.

 

Bude-li koeficientů konečný počet, obdržíme výpočtem více či méně přesný odhad skutečného výkonu.

   
 

http://en.wikipedia.org/wiki/Parseval's_theorem

   
   
  Příklad:
   
  Vypočtěte efektivní hodnotu a normovaný střední výkon periodického signálu, vzniklého jednocestným
  usměrněním harmonického signálu podle obrázku.
   
  Nejprve se půjde o výpočet s využitím Parsevalova teorému, k čemuž potřebujeme spektrální čáry.
   
 
   
  Nyní totéž, ale klasicky na základě znalosti funkce časového průběhu.
   
 
   
  Výpočet, založený na analytické funkci časového průběhu je výpočtem přesným, pokud je však možné
  daný vztah pro efektivní hodnotu vůbec vypočítat (pro složité časové průběhy problém).
   
  Výpočet s využitím Parsevalova teorému je odhadem daných veličin. Přesnost se zvyšuje s rostoucím
  počtem spektrálních čar, které máme k dispozici.
   
   
2.3. Použití Fourierovy řady
   
  Na obrázku níže je názorně ukázán postup určení časového průběhu ze známého úplného spektra
  (zelený směr) a naopak určení koeficientů Fourierovy řady (FŘ) ze známého časového průběhu.
  My se v této kapitole zaměříme na žlutý, doposud nediskutovaný směr.
   
 
   
  Nyní nás tedy bude zajímat, jak pro známý periodický signál (funkci) určit koeficienty Fourierovy řady.
  K tomu vedou tyto kroky, resp. podmínky:
   
 

● je třeba znát periodický signál jako analyticky zadanou funkci (vzorec pro periodický časový průběh),

● aplikovat některý ze vztahů pro výpočet koeficientů Fourierovy řady (tabulka druhá, levý sloupec výše).

   
  Vše si ukážeme na příkladě výpočtu a zakreslení spektra periodického sledu obdélníkových pulzů,
  neboť tento tvar signálu a jeho modifikace jsou v praxi poměrně časté (např. logická 1 a logická 0).
   
  Příklad:
   
  Vypočtěte prvních 12 složek úplného spektra periodického obdélníkového signálu podle obrázku.
   
 
   
  Řešení sse estává z několika logických kroků:
   
  1. výběr vztahu pro výpočet koeficientů Fourierovy řady (FŘ),
  2. analytické řešení tohoto vztahu - obdržení koeficientů FŘ,
  3. analytický výpočet amplitud a počátečních fází harmonických složek spektra z vypočtených koeficientů,
  4. dosazení číselných hodnot ze zadání - obdržení velikostí spektrálních čas obou částí spektra,
  5. zakreslení spektra.
   
  Ad 1.
   
  Vyjdeme ze vztahu pro výpočet komplexních koeficientů z tabulky výše:
   
 
   
   
   
 
   
  V průběhu periody je naší funkcí konstanta Im. Časový průběh proudu je nenulový pouze po dobu
  trvání pulzu ts. Dosazením obdržíme:
   
  Ad 2.
   
 
   
  Zde by odvození vztahu pro komplexní koeficient Fourierovy řady mohlo skončit. My jej ale ještě upravíme
  tak, aby byl výsledek snáze interpretovatelný.
   
  Platí tzv. Eulerova substituce:
   
 
   
  Upravíme vztah pro koeficient tak, abychom mohli Eulerovu substituci použít.
   
 
   
  Výraz jsme rozšířili zlomkem 2/2, abychom ve jmenovateli obdrželi 2.
   
  Pro snazší interpretaci se pokusíme získat ve výsledku výraz sinα/α.
   
 
   
  Použili jsme rozšíření zlomkem ts/ta substituci sincα=sinα/α.
   
  Obdrželi jsme vztah pro komplexní koeficienty Fourierovy řady. Budeme-li nyní do vztahu dosazovat
  za index k postupně čísla 1,2,3, ... budeme dostávat komplexní čísla, z nichž lze již obdržet amplitudy
  a počáteční fáze harmonických složek spektra. Bohužel, vztah nelze využít pro index k=0 k získání
  střední hodnoty I0, neboť po dosazení k=0 získáme neurčitý výraz 0/0.
   
  Proto pro určení střední hodnoty využijeme dříve zde uvedený vztah:
   
 
   
  Vztah pro střední hodnotu již máme. Nyní je třeba určit vztahy pro výpočet spektrálních čar
  z odvozeného koeficientu:
   
  Ad 3.
   
 
   
  Ad 4.
   
  Nyní dosadíme číselné hodnoty ze zadání do vztahu pro komplexní koeficienty a shrneme si vztahy
  pro spektrální čáry.
   
 
   
  Posledně zmíněné vztahy pro amplitudy a počáteční fáze použijeme pro numerické vyčíslení ve formě
  tabulky. Do vztahu pro komplexní koeficienty budeme dosazovat pořadový index k=1,2,3, ....
  a ze získaných obecně komplexních čísel budeme počítat amplitudy Ik a počáteční fáze.
   
 
   
  U počátečních fází je třeba zvážit, že koeficienty cnám vyšly jako reálná čísla. Z toho ovšem plyne, že
  jejich imaginární část je rovna 0. Proto fázový posuv vychází nejednoznačný, neboť platí:
   
 
   
  Tato nejednoznačnost počátečních fází plyne z toho, že náš zadaný obdélník pokládáme za ideální.
   
  Ad 5.
   
  Barevně vyznačené sloupce v tabulce nyní vyneseme do grafů a získáme tím úplné kmitočtové
  spektrum zadaného periodického signálu.
   
 
   
  Obálka amplitudového spektra (čárkovaně) je grafem funkce sinα/α, kde α=kω1ts/2.
  Všimněte si, že v amplitudovém spektru vždy určitá čára nabývá hodnoty 0. Kmitočet těchto nulových
  čar je svázán se šířkou pulzu a platí pro něj vztah: fz=k/ts, kde k=1,2,3, ... .
   
  Vyčíslíte-li podíl T1/ts, obdržíte v našem případě číslo 5. To nám říká, kolikátá v pořadí bude spektrální
  čára s nulovou velikostí (nepočítá se střední hodnota).
   
  Vzdálenost spektrálních čar je rovna kmitočtu časového průběhu F1=1/T1.
   
  Pro získání dokonalého tvaru je třeba nekonečného počtu spektrálních čar, jak uvedeno výše.
   
  Na obrázku níže vidíte část obrazovky spektrálního analyzátoru jako ilustraci k reálným měřením.
   
 

   
  Návod na rychlé zakreslení spektra periodických obdélníků bez větších výpočtů:
   
 

● předkreslíte si osy grafů obou částí spektra (amplitudové a fázové),

● vypočtete vzdálenost spektrálních čar, která je rovna kmitočtu časového průběh F1 a na vodorovných

   osách obou grafů si uděláte značky kmitočtů od 0, F1, 2F1, 3F1 ....

● vypočtete velikost střední hodnoty podle vzorce I0=Im.ts/T1 a zakreslíte ji,

● dále od ruky načrtnete graf funkce sinα/α, na nulovém kmitočtu je obálka dvojnásobná, než střední

   hodnota,

● nyní určíte, kolikátá spektrální složka amplitudového spektra bude nulová podle výrazu T1/ts,

● kreslení spektra fázového je snadné.

   
  Upozorněme, že hodnota dílčích vrcholů funkce sinα/α poměrně rychle klesá.
   
   
  Vyzkoušejte si práci se spektry např. na webech (stojí to za to):
 

http://www.falstad.com/fourier/

 

http://www.jhu.edu/~signals/fourier2/index.html

   
   
  Na obrázcích níže jsou ukázány některé souvislosti tvaru časového průběhu a spektra.
  Je třeba vždy vycházet z výše odvozených vztahů. Zejména je vhodné vzít v úvahu velikost střední
  hodnoty, polohu nulových spektrálních čar amplitudového spektra a vzdálenost čar.
   
 
   
 
   
 
   
 
   
  Z uvedených souvislostí plynou některé zajímavé a důležité závěry, mající všeobecnou platnost:
   
 

● změna posunutí signálu na svislé ose časového průběhu (nahoru, dolů) se projeví pouze ve změně

   střední hodnoty, tedy čáry na nulovém kmitočtu (první v pořadí); je-li střední hodnota kladná,

   má vždy nulovou počáteční fázi; je-li záporná, je počáteční fáze π nebo -π ; z toho plyne závěr, že

   změna znaménka se projeví jen a pouze ve fázovém spektru, spektrum amplitud nemůže být záporné,

● změna kmitočtu časového průběhu se projeví ve změně vzdálenosti čar, ale také ve velikosti čar

   amplitud,

● změna šířky pulzu obdélníku se projeví ve změně polohy nulových čar amplitudového spektra a také

   ve změně velikosti amplitudového spektra,

● úzké pulzy s malou střídou vedou na sice nevelké co do amplitud, ale zato velmi široké spektrum;

   to je nevýhodné, neboť je třeba přenosového kanálu s velkou šířkou propustného pásma,

● jakákoli změna velikosti spektrálních čar se projeví ve zkreslení časového průběhu a naopak.

   

 

2.4. Příklady jednodušších periodických signálů a jejich spekter
   
  V těchto několika obrázcích vám předkládáme příklady k procvičení si vztahu časový průběh - spektrum.
  Nejjednodušší je začít na signálech na bázi harmonických průběhů. Všímejte si zejména velikostí
  spektrálních čar amplitudového i fázového spektra a poloh těchto čar na kmitočtové ose.
   
  Tak si lze postupně vytvořit cit pro spektrální analýzu, založenou na Fourierově harmonické analýze.
   
 
   
 
   
 
   
 
   

 

2.5. Další příklady periodických časových průběhů a jejich spekter
   
  Níže uvádíme přehled některých periodických signálů, jejich Fourierův rozvoj a náčrt amplitudového
  spektra. Omluvte, prosím, nižší čitelnost, danou již předlohou (průhledná fólie).
   
 
   

 

3. Doporučená literatura
   
  Biolek, D. a kol. Úvod do elektrotechniky. Skriptum S-13. Vojenská akademie v Brně, 1997.
  Biolek, D. a kol. Elektronické obvody I. Učebnice. Univerzita obrany, Brno 2006. ISBN 80-7231-169-7.
  Zaplatílek, K. a Doňar, B. MATLAB - začínáme se signály. BEN-technická literatura, Praha 2006.
  ISBN 80-7300-200-0.